개인간 중고차 거래했는데 매매계약서도 있었어야 할까요?

안녕하세요!

궁금했던 것들을 많이 도움주셔서 어제 무사히 중고차 거래 완료했습니다.

보험도 아버지 명의로 들어서 완료했습니다.

중고차 거래를 할 때, 양도인 / 양수인이 둘다 만나서 자동차 이전등록 사업소에가서

절차를 진행해서 거래를 했는데요!

자동차 이전등록 사업소에서는 '차량 양도 증명서', ' 이전등록신청서 ' 두 개 작성해서

사업소에 제출하고 이전을 했는데(그 과정에서 취등록세, 인지료?? 같은것도 내구요!), 

차량 양도 증명서나 이전 등록신청서는 이걸 다시 돌려받지는 않았거든요?

그런데 오늘 판매자가 자기 보험 해지하려면 매매 계약서랑 자동차 등록증이 있어야 한다고 보내달라고 하던데..(?)

우리 매매 계약서 같은거 안썼는데... 그리고 자동차 등록증 보내주는 것도 맞을까요?

혹시 어제 사업소에 냈던 양도 증명서랑 이전등록 신청서 1부씩을 받아왔어야 했던건지,

만약에 그렇다면 안받아왔는데 어떻게 해야 하는지... 

궁금합니다..ㅎㅎ

그쪽에서 왜 매매 계약서를 달라고 할까요?

분명 그 자리에 같이 있었는데.. 저희 안썼는데..